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il n'existe pas d'objets en soi pages 1/8 à 7/8

 
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morphisme


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Inscrit le: 10 Jan 2014
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Spiritualité: complexe

MessagePosté le: Ven 28 Nov - 01:56 (2014)    Sujet du message: il n'existe pas d'objets en soi pages 1/8 à 7/8 Répondre en citant

dans ce premier post les pages 1/8 à 7/8

page 1/8

assertion :Il n'existe pas d'objets en soi et cela en utilisant que la géométrie affine

En partant du principe que l'existence d'un objet est liée au fait
qu'il soit possible de definir un referenciel par lequel on puisse en donner les propriétes
et que en fait on a les quatre équivallences logiques

I objet existe <= données sur l'objet existe

II données sur l'objet existe <= referentiel par lequel on peut obtenir ces données existe

ce referentiel on va l'appeler {B,N}

III referentiel {B,N} par lequel on peut obtenir ces données existe(ici je parle pas des données que l'on puisse avoir sur lui mais le fait qu'il existe ces données)

<= ce referentiel {B,N} existe independemment de l'existence d'autres referenciels

IV ce referentiel {B,N} existe independemment de l'existence d'autres referenciels <= {B,N} existe en soi



Alors dans ce cas si je prouve qu'il faut au moins un autre referenciel et different de {B,N} -on va l'appeler {A,M} -
par lequel on puisse avoir la preuve que le referenciel{B,N} existe et dans le cas contraire son existence n'est pas prouvable donc ne releve pas des faits

je prouve de fait que {B,N} n'existe pas en soi puisque sans au moins l'autre referenciel il n'existe aucun fait qui puissent confirmer son existence


sommaire

page 2/8 l'espace affine euclidien à trois dimensions

page 3/8 l'espace vectoriel euclidien |R^n

page 4/8 les points et les vecteurs

page 5/8 les vecteurs et leurs lois de composition

page 6/8 les groupes

page 7/8 les bases
Préalable
7/8 - 1/12 -base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
7/8 - 2/12 -la base canonique Id et le repere canonique
7/8 - 3/12 -orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
7/8 - 4/12 -orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 5/12 -convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
7/8 - 6/12 -convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 7/12 -décomposition d'un vecteur sur une base
7/8 - 8/12 -notion élémentaire de sous base
7/8 - 9/12 -convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
7/8 - 10/12 -convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 11/12 -espace dual
7/8 - 12/12 -Produit vectoriel défini par produit mixte
préalable
7/8 - 12/12 - 1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
7/8 - 12/12 - 2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
7/8 - 12/12 - 3/4 produit scalaire
7/8 - 12/12 - 4/4 produit vectoriel

page 8/8 la démonstration

_____________________________________________________________________________

page 2/8 l'espace affine euclidien à trois dimensions


Developpement didactique:

tout d'abord on se place dans ce qu'on appelle l'espace affine euclidien à trois dimensions (ce que communément on appelle l'espace 3D)
et on simplifie cet espace là en ne considérant que dans celui-ci seul existe les points et les référentiels

un referentiel est un couple formé d'un point O(dit origine du repere )et d'une base M on note ce référentiel {O,M}

soient deux référenciels {A,M} et {B,N} alors ces deux référenciels sont identiques si et seulement si

A et B désignent le même point on obtiens A = B et si en plus les deux bases M et N sont identiques on obtiens M = N

par conséquent les deux référenciels {A,M} et {A,N} sont différents si et seulement si M |= N ( |= symbole pour non égal)

communément une base se représente par trois droites normées non colinéaires et non coplanaires ce qui permet de positionner un point
non colinéaires parce qu'elles ne se confondent pas
non coplanaires parce que la troisième ligne n'est pas situé sur le plan formé par les deux autres
normés parce que tout point situé sur l'une de ces droites est positionnable en terme de distance à partir d'une origine et dans un sens positif ou negatif

cependant il faut aussi que ces trois droites soient sécantes

si ces conditions sont remplies alors il existe un seul et unique point O qui constitue l'origine de ce referentiel:
il s'agit du point par lequel sont sécantes ces trois droites

tout point positionné à partir d'un referenciel se defini par trois composantes réelles c'est à dire par trois nombres réels, l'ensemble des nombres réels se note |R
ces trois nombres réels sont la position de la projection orthogonale de ce point sur chacunes des droites qui constituent la base

l'espace affine euclidien à trois dimension se note |R^3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

page 3/8 l'espace vectoriel euclidien |R^n


Avant de continuer on va décrire l'espace vectoriel euclidien

la notation pour designer l'espace vectoriel euclidien est identique à celle qui designe l'espace affine euclidien

par consequent quand on parlera de l'un ou de l'autre à la notion associée on dira expressement de quel espace on parle

en effet l'espace vectoriel euclidien se note de même |R^n où n est un entier naturel de l'ensemble |N*={1,2,3,4,...}
l'etoile associée à cet ensemble |N={0,1,2,3,...} declare que l'element 0 de |N n'appartiens pas à cet ensemble |N*

de même l'ensemble |R* ne possede pas l'élément 0

de la même maniere l'espace affine euclidien se note |R^n on devra donc expressement préciser duquel on parle

deux précisions à apporter ici l'une pour information l'autre est plus importante

quand on dit espace vectoriel ou affine |R^n on parle ici d'un espace de dimension finie -on dit plus correctement espace fini:attention à ne pas condondre
avec une finitude de distance-puisque n est un element de |N*, l'ensemble |N étant infini

il existe aussi la possibilitée de definir des espaces vectoriels ou affines de dimensions infinis mais ici il s'agit juste d'une information car dans tout ce qui suit
de tels espaces seront ignorés de plus cette notation |R^n ne reste plus valable pour de tels espaces

l'autre précision qui s'avere utile de donner concerne la notation |N_n ou |N_n* ces deux ensembles sont finis selon
|N_n={0,1,2,...,n} et ici n appartiens à |N
|N_n*={1,2,...,n} et ici n appartiens à |N*

par consequent on pourrait tout aussi bien noter |R^n avec n appartiens à |N_n* pour un espace vectoriel ou affine fini mais cette notation alourdie le propos
et de plus elle est inutile

par contre et cela est plus important à re-dire la notation |R^n avec n appartiens à |N* n'en reste pas moins non valable pour designer
un espace vectoriel ou affine infini

Bref ...dans l'espace vectoriel euclidien à n dimensions -donc fini- |R^n les seuls objets existants sont des vecteurs et des bases

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

page 4/8 les points et les vecteurs


Avant de continuer on va décrire un peu les points de l'espace affine et les vecteurs de l'espace vectoriel
bien que pour le propos deux précisions devront êtres apportées en ce qui concerne les vecteurs
la premiere est de definir les lois auquels ils sont soumis
la seconde est de definir le rapport qu'entretiennent entre eux les vecteurs et les bases (ce qui obligera à aborder juste ce qu'il faut concernant les matrices nXp)

pour simplifier et mieux visualiser mentalement le propos dans ce qui suit on parlera d'espace à trois dimensions

un point P=(p_1,p_2,p_3) possede ici donc trois composantes p_i qui le positionne
ces composantes on les appelles des scalaires

si on prend deux points P=(p_1,p_2,p_3) et Q=(q_1,q_2,q_3)
alors si donc ces points sont un seul et même point on a
p_1=q_1 , p_2=q_2 , p_3=q_3

sinon ils sont distincts
dans ce cas on peut construire un segment de droite PQ

quand on parle du vecteur vec {V}=vec {PQ}=(v_1,v_2,v_3)=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)
la notation vec {...} signifiant que se qui se trouve entre les symboles { et } est un vecteur
donc ici v_1=q_1-p_1 , v_2=q_2-p_2 , v_3=q_3-p_3

en le nommant vec{PQ} on imagine une fleche partant du point P on le nomme point d'application du vecteur et arrivant au point Q

mais si on dit vec {V}=vec {PQ}=(v_1,v_2,v_3) sans que l'on connaisse la position des deux point P et Q
alors on ne peut pas dire que par les informations dont on dispose sur ce vecteur et qui sont les scalaires v_i
que l'on puisse considerer que ce vecteur possede un point point d'application

ce qui compte chez un vecteur c'est la longueur du segment des deux points qui le compose,sa direction et son sens

pour visualiser on peut prendre deux droites paralleles dans l'espace elles ont mêmes direction et pourtant elles sont distinctes de plus
si on imagine un point se baladant sur l'une des droites et pareil un autre point se baladant sur l'autre droite
on peut voir si ces points vont dans le même sens et la longueur qu'il parcourent

ce qui fait que si deux vecteurs ont mêmes direction et même sens et de plus ont même longueur(la "longueur d'un vecteur se nomme norme d'un vecteur)

bien en fait il s'agit du même vecteur même si ils n'ont pas le même point d'application

ce qui fait prenons quatre points P,Q,F,G tels que

vec {V}=vec {PQ}=vec {FG}=(v_1,v_2,v_3)=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)=(g_1-f_1,g_2-f_2,g_3-f_3) alors bien que ces points puissent êtres tels que F |= P et G |= Q
rappel ici la notation |= signifie non égal

et bien cela n'empêche que vec {PQ}=vec {FG}=(v_1,v_2,v_3) de plus les informations v_i ne permettent pas de connaitre les positions de ces points

parler d'un vecteur en le decrivant uniquement que par ses composantes c'est parler d'un vecteur dont le point d'application est l'origine du repere par lequel
on definit les positions de tout point
et un vecteur nul est en fait un vecteur dont la norme est nulle

pour un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,v_3)
sa norme est definie par ||vec {V}||=sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} la notation sqrt {...} signifiant racine carrée de ce qui se trouve entre les symboles { et }

donc ainsi qu'on a dit la distance entre deux points P=(p_1,p_2,p_3) et Q=(q_1,q_2,q_3) est donnée par la norme du vecteur vec {PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)
on obtiens donc: distance PQ=||vec {PQ}||=sqrt {(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}

par ailleurs un vecteur nul peut se noter vec {0}=(0,0,0) par conséquent ||vec {0}||=0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

page 5/8 les vecteurs et leurs lois de composition



donc avant de continuer on va definir les lois auquels ils sont soumis les vecteurs

ici dans le propos il s'agit d'espace vectoriel R^3

l'espace vectoriel euclidien est munis du produit par un scalaire
il s'agit d'une application que l'on note RXR^3 ->R^3 je détaille le propos:

lambda appartiens à R est un scalaire et
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 est un vecteur on obtiens l'opération

lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3) appartiens à R^3 est un vecteur

donc dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé à l'extreme gauche est R
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé à l'extreme gauche est: lambda un scalaire(un élément de R)

dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé en deuxième position à partir de la gauche est R^3
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé en deuxième position à partir de la gauche est: vec {X} un vecteur donc un element R^3

dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé en troisième position à partir de la gauche est R^3
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé en troisième à partir de la gauche est: vec {X} un vecteur donc un element R^3

l'opération (attention il faut respecter l'ordre des termes ) lambda .vec {X} a pour solution (lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)

on verifie

lambda .vec {X}=vec {X}.lambda Commutativité

(lambda _1.lambda_2).vec {X}=lambda _1.(lambda_2 .vec {X})

associativité par rapport au produit des scalaires

(lambda _1+lambda_2).vec {X}=(lambda _1.vec {X})+(lambda_2 .vec {X})
distributivité par rapport à l'addition des scalaires

1 . vec {X}=vec {X} élément neutre lambda =1

____________

cet ensemble est munis de l'addition vectorielle
il s'agit d'une application -donc voir comme précédemment selon la même methodologie ce à quoi cela renvoie -
R^3XR^3 ->R^3

vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et ec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens

vec {X}+vec {Y}=(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3) appartiens à R^3 est un vecteur

on verifie

vec {X}+vec {Y}=vec {Y}+vec {X} Commutativité

(vec {X}+vec {Y})+vec {Z}=vec {X}+(vec {Y}+vec {Z}) associativité

lambda.(vec {X}+vec {Y}) =(lambda.vec {X} )+(lambda .vec {Y} )

le produit par un scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs c'est à dire que:

vec {0} + vec {X}=vec {X} élément neutre vec {0}

symétrie on note -vec {X}=(-1).vec {X}
on vérifie vec {X}-vec {X}=vec {0}

de plus -(-vec {X})=vec {X}


___________

cet ensemble est munis du produit scalaire
il s'agit d'une application R^3XR^3 ->R

vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens

vec {X}.vec {Y}=x_1.y_1+x_2.y_2+x_3.y_3 appartiens à R est un scalaire

on verifie

vec {X}.vec {Y}=vec {Y}.vec {X} Commutativité
lambda.(vec {X}.vec {Y}) =(lambda .vec {X}).vec {Y}
le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit scalaire

(vec {X}+vec {Y}).vec {Z}=(vec {X}.vec {Z})+(vec {Y}.vec {Z}) distributivité par rapport à l'addition des vecteurs

remarque n°1
vec {X}.vec {X}=vec {X}^2
est une notation acceptée

remarque n°2
la norme d'un vecteur avec la notation ||...||
||vec {X}||=sqrt {vec {X}^2}

remarque n°3
Soit un vecteur vec {X}
alors si on vérifie vec {X}^2=0
alors dans ce cas ce vecteur est nul et on verifie vec {X}=vec {0}

remarque n°4
Soient deux vecteurs non nuls vec {X}|=vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
alors si on vérifie vec {X}.vec {Y}=0 on dit alors que ces deux vecteurs sont orthogonaux
___________

on l'a vu la norme d'un vecteur est une application R^3 ->R

vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 est un vecteur on obtiens

||vec {X}|| = (x_1,x_2,x_3)=sqrt {x_1^2+x_2^2+x_3^2} appartiens à R est un scalaire positif

par ailleurs pour tout vecteur non nul vec {X}|=vec {0} alors
avec la notation |= qui signifie non égal
(1/||vec {X}||).vec {X} est le vecteur unitaire de vec {X}|= vec {0}

dans ce cas on vérifie ||(1/||vec {X}||).vec {X}|| = 1

la norme d'un vecteur unitaire est 1

___________

on peut aussi munir cet ensemble du produit vectoriel

il s'agit d'une application R^3XR^3 ->R^3

vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens

vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à R^3 est un vecteur

avec le symbole T qui designe ici l'operateur produit vectoriel

z_1=x_2.y_3-x_3.y_2

z_2=x_3.y_1-x_1.y_3

z_3=x_1.y_2-x_2.y_1

on verifie

vec {X} T vec {Y}=-(vec {Y} T vec {X}) Anti-Commutativité

lambda .(vec {X} T vec {Y})=(lambda .vec {X}) T vec {Y}
le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit vectoriel

(vec {X}+vec {Y}) T vec {Z}=(vec {X} T vec {Z})+(vec {Y} T vec {Z}) distributivité par rapport à l'addition des vecteurs

___________

on peut aussi munir cet ensemble d'une application R^3XR^3 ->R^3

que l'on note

vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens

vec {X}Xvec {Y}=(vec {X}^2.vec {Y})-((vec {X}.vec {Y}).vec {X}) appartiens à R^3

___________

enfin pour tous vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
on considère la notation

vec {X}*vec {Y}=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/U}.(vec {X}Xvec {Y}) appartiens à R^3

avec

U=(vec {X}^2.vec {Y})^2.vec {X}^2+((vec {X}.vec {Y}).vec {X})^2.vec {X}^2-2(vec {X}.vec {Y})^2.vec {X}^2.vec {X}^2

___________Propriétés supplémentaires


vec {X}.(vec {X} T vec {Y})=vec {Y}.(vec {X} T vec {Y})=0

vec {X} T (vec {Y} T vec {Z})=(vec {X}.vec {Z}).vec {Y}-(vec {X}.vec {Y}).vec {Z}

vec {X}.(vec {Y} T vec {Z})=(vec {X} T vec {Y}). vec {Z}

vec {X}.vec {X}= vec {0}

||vec {X} T vec {Y}||^2=(( vec {X} T vec {Y}) T vec {X}).vec {Y}

vec {X} T (vec {Y} T vec {Z})+vec {Y} T (vec {Z} T vec {X})+vec {Z} T (vec {X} T vec {Y})= vec {0}

(vec {A} T vec {B})+(vec {C} T vec {D})=(vec {A}.vec{C}).(vec {B}.vec{D})-(vec {B}.vec{C}).(vec {A}.vec{D})

_____Vecteurs non nuls

dans tout ce qui suit les vecteurs vec {X} et vec {Y} sont non nuls


alors dans ce cas on vérifie vec {X}^2.vec {Y}^2 |= 0


Soient deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0}
rappel la notation |= qui signifie non egal

alors il existe phi selon 0 =< phi =< 180°
avec la notation =< qui signifie inferieur ou égal

cet angle que l'on nomme phi représente l'angle formé par deux vecteurs non nuls

tel que vec {X}.vec {Y}=||vec{X}||.||vec{Y}||.cos(phi) avec la fonction cosinus notée cos(...)

de plus on vérifie alors ||vec {X} T vec {Y}||=||vec{X}||.||vec{Y}||.sin(phi) avec la fonction sinus notée sin(...)

||vec {X} T vec {Y}||^2=vec{X}^2.vec{Y}^2-(vec{X}.vec{Y})^2

mais aussi on vérifie ||\vec {X}*\vec {Y}||=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/vec {X}^2}= ||vec {Y}||.sin(phi)

on vérifie

phi = arccos ( (vec {X}.vec {Y}) / sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 } ) avec la fonction arccosinus notée arccos(...)

cos(phi) = (vec {X}.vec {Y}) / sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }

sin(phi) = sqrt { ( vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2 )/( vec {X}^2.vec {Y}^2 ) }

de sorte que

lorsque vec {X}.vec {Y}=0 on obtiens phi =90°

lorsque vec {X}.vec {Y}>0 on obtiens 0 =< phi < 90°

lorsque vec {X}.vec {Y}<0 on obtiens 90 °< phi =< 180°

les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} sont dits colinéaires si et seulement si

(vec {X}.vec {Y})^2=vec {X}^2.vec {Y}^2

alors dans ce cas

*lorsque vec {X}.vec {Y}-sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }=0

alors dans ce cas les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} ont mêmes direction et sens

*lorsque vec {X}.vec {Y}+sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }=0

alors dans ce cas les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} ont mêmes direction mais de sens opposés
rappel la notation |= qui signifie non egal

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

page 6/8 les groupes


donc avant de continuer en terminant sur le rapport qu'entretiennent les vecteurs et les bases avant de présenter la démonstration proprement dite

sur cette sixième page on va faire un rappel concernant les conventions de notation précédentes en apporter d'autres

puis aborder juste ce qu'il faut concernant les matrices nXp


-Rappel des notations vu précédemment

première notation : x^n pour un nombre réel cela signifie x à la puissance n

deuxième notation : |R^n espace vectoriel ou affine fini

troisième notation : la notation |= qui signifie non egal

quatrième notation : sqrt { ... } racine carrée de se qui se trouve entre les deux accolades

cinquième notation : vect { ...} ce qui se trouve entre les deux accolades est un vecteur

sixième notation : désigne le segment de droite formé par les points P et Q

septième notation : x.y pour deux nombres réels il s'agit du produit de x par y

huitième notation : x.vec {A} il s'agit du produit par un scalaire -> ici x un scalaire (un nombre réel) et A le vecteur

neuvième notation : vec {A} . vec {B} produit scalaire

dixième notation : x+y pour deux nombres réels il s'agit de la somme de x et y

onzième notation : vec {A} + vec {B} addition vectorielle des vecteur A et B

douxième notation : |x| pour un nombre réel cela signifie la valeur absolue de x

treizième notation : || vec {A} || norme du vecteur A

quatorzième notation : vec {A} T vec {B} produit vectoriel

quinzième notation : vec {A} X vec {B} voir page 4

seizième notation : vec {A} * vec {B} voir page 4


-conventions de notations supplémentaires


premiere notation : convention de sommation d'Einstein

la notation entre les guillemets ici " x_i avec i de 1 à n " signifie la sommation : x_1+x_2+...+x_n

la notation entre les guillemets ici " x_ij avec i de 1 à n et j de 1 à p " signifie la sommation :

x_11+x_21+...+x_n1+x_12+x_22+...+x_n2+...+x_1p+x_2p+...+x_np

deuxième notation : n! il s'agit de la factorielle pour un entier naturel n cela signifie n!=1.2.3. ... .n en posant 0!=1

troisième notation : base { ... } ce qui se trouve entre les deux accolades est une base

quatrième notation : [x] pour un nombre réel positif x cela signifie partie entiere de x

cinquième notation : [P] il s'agit de l'écriture matricielle d'un point

sixième notation : [vec {A}] il s'agit de l'écriture matricielle du vecteur A

septième notation : [base {M}] il s'agit de l'écriture matricielle de la base M

huitième notation : le symbole de kronecker noté : delta_ij selon delta_ij=1 pour i=j et delta_ij=0 sinon

neuvième notation : le symbole d'anti-symétrie noté : e^{ijkl...}

les indices i,j,k,l,...étants des entiers naturels non nuls

en considérant l'ordre des indices ijkl...est un ordre originel si et seulement si i<j<k<l<...

e^{ijkl...}=0 lorsque au moins deux des indices sont identiques

e^{ijkl...}=1 lorsque l'ordre des indices proviens d'un nombre pair de permutations à partir de l'ordre originel

e^{ijkl...}=-1 lorsque l'ordre des indices proviens d'un nombre impair de permutations à partir de l'ordre originel

en ce qui concerne le produit vectoriel ( ici avec le symbole T qui designe ici l'operateur produit vectoriel ) vu à la page 4 du document

il peut se definir de façon plus générale en utilisant la convention de sommation d'Einstein et le symbole d'anti-symétrie de la facon suivante

soient vec {X}=(x_1,x_2,...,x_n) et vec {Y}=(y_1,y_2,...,y_n) deux vecteurs de |R^n alors le produit vectoriel

vec {X} T vec {Y}= vec {Z} =(z_1,z_2,...,z_n) appartiens à |R^n est un vecteur

on obtiens z_i=e^{ijk}.x_j.y_k

il en résulte

soient vec {X}=(x_1,x_2,x_3) et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) deux vecteurs de |R^3 alors le produit vectoriel

vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à |R^3 est un vecteur

z_1=x_2.y_3-x_3.y_2

z_2=x_3.y_1-x_1.y_3

z_3=x_1.y_2-x_2.y_1

soient vec {X}=(x_1,x_2,x_3,x_4) et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3,y_4) deux vecteurs de |R^4 alors le produit vectoriel

vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3,y_4) appartiens à |R^4 est un vecteur

z_1=x_2.y_3+x_2.y_4+x_3.y_4-x_3.y_2-x_4.y_2-x_4.y_3

z_2=x_3.y_1+x_3.y_4+x_4.y_1-x_1.y_3-x_1.y_4-x_4.y_3

z_3=x_1.y_2+x_4.y_1+x_4.y_2-x_1.y_4-x_2.y_1-x_2.y_4

z_4=x_1.y_2+x_1.y_3+x_2.y_3-x_2.y_1-x_3.y_1-x_3.y_2

là il faut faire une remarque concernant le produit vectoriel généralisé

certaines de ses propriétés ne sont valables que uniquement sur |R^3

par exemple uniquement valable dans |R^3 est cette propriété:

||vec {X} T vec {Y}||=||vec {X}||.||vec {Y}||.sin(phi) où phi est l'angle formé par les deux vecteurs X et Y


-les matrices nXp

pour le propos ici et pour les besoins du sujet on aborde juste que ce qui est vraiment necessaire à propos des matrices

les matrices ne sont pas des objets de géométrie mais une représentation algebrique d'objets par exemple (mais pas seulement) des vecteurs des points ou des bases

cette représentation permettant d'effectuer des calculs sur ces objets là

dans tout ce qui va suivre :

lorsque l'on voit écrit [P] cela signifie donc que le point P est écrit sous la forme d'une matrice

lorsque l'on voit écrit [vec {A}] cela signifie donc que le vecteur A est écrit sous la forme d'une matrice

lorsque l'on voit écrit [base {M}] cela signifie donc que la base M est écrite sous la forme d'une matrice

présentation sommaire

inutile de rentrer dans des détails abscons pour le sujet qui déjà est proche du charabia en espérant que jusqu'à présent je l'ai évité

une (nXP) matrice

ici et uniquement ici pour le propos

est un tableau de nombres réels de n lignes et de p colonnes

de la premiere ligne située en haut jusqu'à la derniere située en bas du tableau

de la première colonne située à gauche à la derniere colonne située à droite du tableau

les nombres réels composant une matrices sont appelées les composantes de cette matrice

soit M est une (nXP) matrice on nomme la composante m_ij le nombre réel situé à la i ième ligne et à la j ième colonne

les composantes diagonales d'une matrice M désignent sont toutes les composantes m_ii

les composantes triangulaire supérieures d'une matrice designent toutes les composantes m_ij telles que i =< j avec la notation =< qui signifie "inférieur ou égal"

les composantes triangulaire inférieures d'une matrice designent toutes les composantes m_ij telles que i >= j avec la notation >= qui signifie "supérieur ou égal"

une matrice carrée de rang n désigne une (nXn) matrice

à toute (nXp) matrice M de composantes m_ij on definit un matrice N = M^t est la matrice transposée de M

attention t est un symbole et non un nombre

N est une (pxn) matrice de composantes n_ij=m_ji


étant donné que pour le propos on se place dans un espace vectoriel ou affine |R^3

pour les points et les vecteurs lorsqu'ils sont écris sous une forme matricielle ils sont représentés par des (3X1) matrices

à la n ième composante du point ou du vecteur correspond la composante située sur la n ième ligne de cette matrice d'une seule colonne

en ce qui concerne les base et leurs écriture matricielle le sujet sera abordé à la page suivante la page 6

un minimum d'opérations sont présentés ici pour le propos

-le produit par un scalaire x.M=N ici x est un nombre réel et M et N sont deux (nXp) matrices

alors les composantes de N sont définies par n_ij=x.m_ij

l'element neutre du produit par un scalaire est le scalaire (nombre réel) 1

1.M=M

-l'addition matricielle M+N=L ici L,M,N sont trois (nXp) matrices

alors les composantes de L sont définies par l_ij=n_ij+m_ij

l'element neutre de l'addition est la matrice nulle (toutes ces composantes sont nulles) on va la noter [0_ij]

M+[0_ij]=M et M-M=[0_ij]

-le produit matriciel M.N=L ici L,M,N attention ici M est une (nXt) matrice , N est une (tXp) matrice , L est une (nXp) matrice

alors les composantes de L sont définies par l_ij=m_ik.n_kj avec k de 1 à p (voir sommation d'Einstein)

le produit matriciel n'est pas commutatif et pour toute (n,p) matrice M alors le produit matriciel M.N n'est possible que uniquement si N est une (p,q) matrice

la solution de ce produit donnant une (n,q) matrice

-la notion de déterminant d'une matrice

à toute matrice carrée est associée un nombre réel (encore une fois ici on parle de matrices dont les composantes sont réelles)

soit M une (nXn) matrice -donc carrée- de composantes m_ij alors on établit le determinant que l'on note : det(M)=e^{i1,i2,...,in}.m_1(i1).m_2(i2). ... .m_n(in)

symbole d'anti-symetrie et convention de sommation d'Einstein

ici les indices du symboles d'anti-symetrie sont au nombre de n et ils sont definis par : i1,i2,...,in

pour une (1X1) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11

pour une (2X2) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11.m_22-m_12.m_21

pour une (3X3) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11.m_22.m_33+m_12.m_23.m_31+m_13.m_21.m_32-m_11.m_23.m_32-m_12.m_21.m_33-m_13.m_22.m_31

-le groupe des matrices de déterminant non nul par le produit matriciel

ici le sujet demande de parler un peu des groupes

un groupe est un ensemble qui possède des lois particulieres et ici on considerera que l'ensemble des matrices à determinant non nul que l'on va noter ensemble E
cet ensemble est muni du produit matriciel noté .

on verifie quatre lois fondamentales:

premiere loi : M.N=L tel que L,M,N appartiennent à E

deuxieme loi : L.(M.N)=(L.M).N associativité par conséquent on peut enlever les parenthèses sans risque d'erreur L.(M.N)=L.M.N

de plus pour le produit d'une matrice M d'une quantité k de fois on écrit M.M.M. ... . M = M^K c'est à dire M à la puissance k

de plus on verifie M^a.M^b = M^{a+b}

troisième loi : l'ensemble E possède un élément neutre noté I qui est une matrice carrée de rang n

dont toutes les composantes diagonales sont de valeur 1 et toutes les autres sont nulles et on verifie : M.I = I.M = M

par ailleurs il est admis de on poser M^0=I c'est à dire M à la puissance zero donne l'element neutre


quatrième loi : pour toute matrice M de l'ensemble E alors il existe une matrice notée M^{-1} dite inverse de M ou dite M à la puissance -1 telle que

M.M^{-1} = M^{-1}.M = I l'élément neutre


Attention il en résulte des propriétés tres importantes

le produit n'est pas commutatif (à part quelques matrices) on a pas toujours M.N = N.M

attention quatre propriétés tres importantes à noter:

premiere propriété : (M^a)^b = M^{a.b} et donc (M^{-1})^{-1} = M

deuxieme propriété : pour M.N = L on verifie M = L.N^{-1} attention respecter l'ordre ainsi pour M.N = L on verifie N = M^{-1}. L

troisième propriété : (M^a.N^b)^{-1} = N^{-b}.M^{-a} effectivement ce que l'on demontre ici

(M^a.N^b)^{-1}.(M^a.N^b) = I l'élément neutre

donc par l'associativité on obtiens (M^a.N^b)^{-1}.(M^a.N^b) = (M^a.N^b)^{-1}.M^a.N^b = I

commme on a vu alors (M^a.N^b)^{-1}.M^a = I.N^{-b}

I est l'élément neutre donc (M^a.N^b)^{-1}.M^a = N^{-b} de sorte que de même (M^a.N^b)^{-1}.M^a = N^{-b}.M^{-a} ce que l'on cherchait à demontrer

quatrième propriété : (M.N)^n=M.N.M.N.M.N ...M.N le produit du couple M.N sur n fois


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

page 7/8 les bases
Préalable
7/8 - 1/12 -base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
7/8 - 2/12 -la base canonique Id et le repere canonique
7/8 - 3/12 -orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
7/8 - 4/12 -orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 5/12 -convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
7/8 - 6/12 -convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 7/12 -décomposition d'un vecteur sur une base
7/8 - 8/12 -notion élémentaire de sous base
7/8 - 9/12 -convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
7/8 - 10/12 -convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
7/8 - 11/12 -espace dual
7/8 - 12/12 -Produit vectoriel défini par produit mixte
préalable
7/8 - 12/12 - 1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
7/8 - 12/12 - 2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
7/8 - 12/12 - 3/4 produit scalaire
7/8 - 12/12 - 4/4 produit vectoriel



Préalable

on se place ici dans l'espace vectoriel euclidien |R^3 et cet espace est composé de vecteurs et de bases

dans cet espace une base est un système de trois vecteurs libres

ces vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires ni coplanaires

pour simplifier le propos sans que cela soit faux considérons trois vecteurs vec {X},vec {Y},vec {Z}

en parlant de systeme de vecteur on signifie que ces trois vecteurs definissent un ordre

le premier vecteur étant le vecteur X , le deuxième le vecteur Y et le troisième le vecteur Z

pour savoir tout de suite si ces vecteurs forment une base de |R^3 on construit une matrice M qui représente ce système

et on doit vérifier uniquement que son déterminant n'est pas nul : c'est la seule condition

pour contruire cette matrice M de composante m_ij et considérant les composantes x_i,y_i,z_i respectivement des vecteurs X,Y,Z

on pose m_i1 = x_i , m_i2 = y_i, m_i3 = z_i

en fait la premiere colonne de cette matrice contiens les composantes du premier vecteur X

la deuxieme colonne de cette matrice contiens les composantes du deuxième vecteur Y

la troisième colonne de cette matrice contiens les composantes du troisième vecteur Z





1-base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire

dans la page 5 on a vu la notion d'angle formé par un couple de vecteurs non nul et la notion de vecteurs orthogonaux

soient deux vecteurs non nuls V et W alors ces vecteurs sont orthogonnaux si et seulement si par le produit scalaire on obtiens V.W = 0

attention si et seulement si car on a déjà exclus le fait qu'ils soient nuls ou que l'un ou l'autre soit nul



à présent considérons la matrice représentant une base on notera [base {M}] cette matrice et elle représente la base notée base {M}

et posons l'operation notée [base {N}] = [base {M}]^A ici A n'est pas un nombre mais un symbole

signifiant que la matrice [base {N}] est dite la matrice associée à la matrice [base {M}]

cette matrice [base {N}] est donnée par le produit matriciel [base {N}] = [base {M}]^A = [base {M}]^t . [base {M}]

ici [base {M}]^t désigne la transposée de la matrice [base {M}] (voir page 5)

QUESTION: à quoi correspond la base associée d'une base?

attention ici toutes les matrices decrites sont carrées et de determinants non nuls (et donc representent des bases) : il s'agit de (nXn) matrices


posons la : base {M} est le systeme des trois vecteurs donnés dans l'ordre vec {V1} , vec {V2} , vec {V3} et la matrice [base {M}] représente cette base

les composantes de la matrice [base {M}] sont notées m_ij

les composantes de la matrice [base {L}]=[base {M}]^t sont notées l_ij

les composantes de la matrice [base {N}] = [base {M}]^A = [base {M}]^t . [base {M}] sont notées n_ij

n_ij = l_ik.m_kj avec k de 1 à n (sommation d'Einstein) -voir l'expression du produit matriciel en page 5-

par ailleurs l_ik=m_ki par consequent n_ij = m_ki.m_kj avec k de 1 à n (sommation d'Einstein) or rappelons nous de l'expression du produit scalaire euclidien

n_ij donne la valeur du produit scalaire euclidien du i ème vecteur par le j ième vecteur


on verifie n_ij = delta_ij . (vec {Vi}.vec {Vj})

avec le symbole de kronecker noté : delta_ij selon delta_ij=1 pour i=j et delta_ij=0 sinon

si la base base {M} est orthogonale alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale

si la base base {M} est orthonormée alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale

dont les composantes sur la diagonale sont toutes identiques

si la base base {M} est ortho-unitaire alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale

dont les composantes sur la diagonale sont toutes de valeur 1

EXEMPLE

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1

n'est pas orthogonale en effet [base {M}]^A=
9 , 9 , 14
9 , 18 , 19
14 , 19 , 30


la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -2 , 14/9
2 , 2 , 7/9
2 , -1 , -14/9

est orthogonale mais non orthonormée en effet [base {M}]^A=
9 , 0 , 0
0 , 9 , 0
0 , 0 , 49/9

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1/2 , -1 , 1
1 , 1 , 1/2
1 , -1/2 , -1

est orthonormée mais non ortho-unitaire en effet [base {M}]^A=
9/4 , 0 , 0
0 , 9/4 , 0
0 , 0 , 9/4

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1/3 , -2/3 , 2/3
2/3 , 2/3 , 1/3
2/3 , -1/3 , -2/3

est ortho-unitaire en effet [base {M}]^A=
1 , 0 , 0
0 , 1 , 0
0 , 0 , 1




2-la base canonique Id et le repere canonique

la base canonique de |R^3 est une base ortho-unitaire formée par le systeme de vecteur dans l'ordre definit par (1,0,0) puis (0,1,0) puis (0,0,1)

la matrice qui représente cette base est l'element neutre noté I du produit dans le groupe des (3X3) matrices carrées à déterminants non nul (voir page 5)
elle se présente donc ainsi
1 , 0 , 0
0 , 1 , 0
0 , 0 , 1

plus généralement la matrice qui représente une base canonique de |R^n est une matrice carrée diagonale dont les composants sur sa diagonale sont tous de valeurs 1


par ailleurs à priori sans autre informations disponible quand on se donne un vecteur vec {V}

alors les composantes de ce vecteur sont definis par rapport à la base canonique

de même sans autre informations disponible quand on se donne une base base {M}

alors les composantes de cette base sont definis par rapport à la base canonique


en ce qui concerne le vecteur vec {V} cela reviens à se donner un point dont la position est donné par les composantes du vecteur vec {V}

et cela par rapport au repere canonique

en ce qui concerne la base base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}

cela reviens à se donner n points p1,P2,...,Pn dont les positions sont donnés par les composantes des vecteurs respectivement vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}

et cela par rapport au repere canonique

le repere canonique étant d'origine (0,0,...,0) et est formé de n axes

le i ème segment d'axe de ce repere et de norme 1 et sur la partie positive de cet axe (donc il définit aussi un sens)

n'est rien d'autre que le i ème vecteur de la base canonique




3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3

dans la page 5 on a posé deux lois notées X et * appliquées alors pour |R^3 mais généralisables pour |R^n selon:

Soient deux vecteurs quelconques vec {X} et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à |R^n on pose la loi X selon

vec {X}Xvec {Y}=(vec {X}^2.vec {Y})-((vec {X}.vec {Y}).vec {X}) appartiens à |R^n

et pour tous vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
on considère la notation

vec {X}*vec {Y}=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/U}.(vec {X}Xvec {Y}) appartiens à |R^3

avec U=(vec {X}^2.vec {Y})^2.vec {X}^2+((vec {X}.vec {Y}).vec {X})^2.vec {X}^2-2(vec {X}.vec {Y})^2.vec {X}^2.vec {X}^2



soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}

on considère une orthogonalisation de celle-ci en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , vec {A3}

telle que cette base soit orthogonale

telle que le determinant des deux matrices [base {M}] = [base {A}]

telle que vec {M1} = vec {A1}

telle que les vecteurs vec {A1} , vec {A2} , vec {M2} sont liés plus simplement dit:

le vecteur vec {M2} appartiens au plan formé par les deux vecteurs vec {A1} et vec {A2}

pour construire cette base base {A} à partir de la base base {M}

on pose vec {A1} = vec {M1}

puis on pose un vecteur noté vec {V11} = vec {M2}

puis on pose vec {A2} = vec {A1} * vec {V11}

puis on pose un vecteur noté vec {V12} = vec {M3}

puis on pose un vecteur noté vec {V22} = vec {A1} * vec {V12}

enfin on pose vec {A3} = vec {A2} * vec {V22}





4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*

soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}

on considère une orthogonalisation de celle-ci en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , ... , vec {An}

telle que cette base soit orthogonale

telle que le determinant des deux matrices [base {M}] = [base {A}]

telle que vec {M1} = vec {A1}

telle que les vecteurs vec {A1} , vec {A2} , vec {M2} sont liés

on ne précise pas d'autres propriétés car leur compréhension ne s'avère pas utiles pour le propos de ce que l'on cherche à démontrer en page 7

pour construire cette base base {A} à partir de la base base {M}

on pose vec {A1} = vec {M1}

puis on pose un vecteur noté vec {V11} = vec {M2}

puis on pose vec {A2} = vec {A1} * vec {V11}

puis on pose un vecteur noté vec {V12} = vec {M3}

puis on pose un vecteur noté vec {V22} = vec {A1} * vec {V12}

puis on pose vec {A3} = vec {A2} * vec {V22}

puis on pose un vecteur noté vec {V13} = vec {M4}

puis on pose un vecteur noté vec {V23} = vec {A1} * vec {V13}

puis on pose un vecteur noté vec {V33} = vec {A2} * vec {V23}

puis on pose vec {A4} = vec {A3} * vec {V33}

...

ainsi de suite jusqu'à vec {An} = vec {An-1} * vec {Vn-1,n-1}





5-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3

soit un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,v_3) non nul de |R^3

on considère une convention permettant de décrire ces composantes sous forme trigonométriques

v_1=||vec {V}||.cos (theta_1).cos (theta_2)

v_2=||vec {V}||.sin (theta_1).cos (theta_2)

v_3=||vec {V}||.sin (theta_2)

ici theta_1 et theta_2 sont deux angles que l'on doit déterminer selon la convention choisie ici à partir des composantes v_i

pour ce faire on pose deux autres angles phi_1 et phi_2 par lesquels seront déterminés theta_1 et theta_2

on considère six cas de figure:

lorsque v_1^2+v_2^2 = 0 et v_3 > 0 on pose theta_1 = 0 et theta_2 = phi_2

lorsque v_1^2+v_2^2 = 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = 0 et theta_2 = -phi_2

lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 et v_3 >= 0 on pose theta_1 = phi_1 et theta_2 = phi_2

lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = phi_1 et theta_2 = -phi_2

lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 et v_3 >= 0 on pose theta_1 = -phi_1 et theta_2 = phi_2

lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = -phi_1 et theta_2 = -phi_2

il ne reste plus qu'à determiner les angles phi_1 et phi_2 selon la convention choisie ici

phi_1 = arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} ) et phi_2 = arccos( sqrt {v_1^2+v_2^2} / ||vec {V}|| ) on obtiens

cos ( phi_1 ) = v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} et sin ( phi_1 ) = |v_2| / sqrt {v_1^2+v_2^2}

cos ( phi_2 ) = sqrt {v_1^2+v_2^2}/ ||vec {V}|| et sin ( phi_2 ) = |v_3| / ||vec {V}||




6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*

il s'agit d'une généralisation dans du cas |R^ 3

soit un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,...,v_n) non nul de |R^n

on considère une convention permettant de décrire ces composantes sous forme trigonométriques

v_1 = ||vec {V}||.cos ( theta_1 ).cos ( theta_2 ). ... .cos ( theta_n-1 )

et pour i>=2 alors v_i = ||vec {V}||.sin ( theta_i-1 ).cos ( theta_i ). ... .cos ( theta_n-1 )

pour v_1^2+v_2^2 = 0 on pose theta_1 = 0

pour v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 on pose theta_1 = arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} )

pour v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 on pose theta_1 = -arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} )

pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 = 0 on pose theta_i = 0

pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 > 0 et v_i+1 >= 0 on pose

theta_i = arccos ( sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i ^2} / sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 } )

pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 > 0 et v_i+1 < 0 on pose

theta_i = -arccos ( sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i ^2} / sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 } )



7-décomposition d'un vecteur sur une base


pour visualiser mentalement la signification d'une décomposition d'un vecteur vec {V} sur une base base {M}

on visualise dans l'espace affine euclidien |R^n et un repere que l'on notera U d'origine (0,0,...,0)

la base qui représente ce repere étant la base sur laquelle on décompose ce vecteur vec {V}

on visualise de même un point dont la position donné sur le repere canonique, correspond aux composantes de ce vecteur là

alors la decomposition du vecteur vec {V} sur une base base {M} donne un vecteur vec {W}

dont les composantes donnent la position de ce point par rapport au repere U

on obtiens par le produit marticiel [vec {W}] = [base {M}]^-1.[vec {V}]

ici [base {M}]^-1 désigne la matrice inverse de la matrice [base {M}]

à propos de l'inverse d'une matrice on parle ici de la loi . (le produit matriciel) donnée pour le groupe (voir page 6)

formé de l'ensemble des matrices dont le determinant est non nul

une matrice étant inversible (donc telle que l'on puisse determiner son inverse) si et seulement si son determinant est non nul

ces matrices sont donc des (nXn) matrices carrées

inverse d'une matrice inversible

soit une (nXn) matrice inversible [base {M}] dont les composantes sont m_ij on determine son inverse [base {N}] = [base {M}]^-1 dont les composantes sont n_ij

il existe plusieurs méthodes mais ici on utilisera une méthode simple à visualiser et facilement généralisable à partir d'un exemple

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1

on contruit la matrice l'on note [N11]

1 , -1 , 2
0 , 4 , 5
0 , 1 , 1

en fait la première colonne de cette matrice correspond à la première colonne de l'élément neutre I du groupe

formé de l'ensemble des matrices dont le determinant est non nul munis de la loi . (le produit matriciel)

on obtiens

n_11 = det [N11] / det [base {M}] = 0.04761904762


puis on construit la matrice l'on note [N21]

1 , 1 , 2
2 , 0 , 5
2 , 0 , 1

on obtiens

n_21 = det [N21] / det [base {M}] = -0.380952381


puis on construit la matrice l'on note [N31]

1 , -1 , 1
2 , 4 , 0
2 , 1 , 0

on obtiens

n_31 = det [N31] / det [base {M}] = 0.2857142857


puis on construit la matrice l'on note [N12]

0 , -1 , 2
1 , 4 , 5
0 , 1 , 1

on obtiens

n_12 = det [N12] / det [base {M}] = -0.1428571429


puis on construit la matrice l'on note [N22]

1 , 0 , 2
2 , 1 , 5
2 , 0 , 1

on obtiens

n_22 = det [N22] / det [base {M}] = 0.1428571429

puis on construit la matrice l'on note [N32]

1 , -1 , 0
2 , 4 , 1
2 , 1 , 0

on obtiens

n_32 = det [N32] / det [base {M}] = 0.1428571429

puis on construit la matrice l'on note [N13]

0 , -1 , 2
0 , 4 , 5
1 , 1 , 1

on obtiens

n_13 = det [N13] / det [base {M}] = 0.619047619


puis on construit la matrice l'on note [N23]

1 , 0 , 2
2 , 0 , 5
2 , 1 , 1

on obtiens

n_23 = det [N23] / det [base {M}] = 0.04761904762

puis on construit la matrice l'on note [N33]

1 , -1 , 0
2 , 4 , 0
2 , 1 , 1

on obtiens

n_33 = det [N33] / det [base {M}] = -0.2857142857

donc [base {N}] = [base {M}]^-1
0.04761904762 , -0.1428571429 , 0.619047619
-0.380952381 , 0.1428571429 , 0.04761904762
0.2857142857 , 0.1428571429 , -0.2857142857



8-notion élémentaire de sous base


soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn} de l'espace vectoriel euclidien |R^n

alors quelque soit un vecteur vec {V} de |R^n alors il existe n scalaires lambda_i (nombres réels de l'ensemble |R) tels que

vec {V} = lambda_1.vec {M1} + lambda_2.vec {M2} + ... + lambda_n.vec {Mn}

les scalaires lambda_i sont les composantes du vecteur vec {W} qui est la décomposition du vecteur vec {V} sur la base base {M}

on verifie que la sommation ci-dessus s'effectue aussi par le produit matriciel [vec {W}] = [base {M}]^-1.[vec {V}] et donc [vec {V}] = [base {M}].[vec {W}]

considérant les composantes v_i1 du vecteur vec {V} et considérant les composantes w_i1 = lambda_i du vecteur vec {W}

et considérant les composantes m_ij de la base : base {M} on obtiens

v_i1 = m_ik.w_k1 = m_ik.lambda_k avec k de 1 à n convention de sommation d'Einstein donc

v_i1 = m_i1.lambda_1 + m_i2.lambda_2 + ... + m_in.lambda_n

on peut verifier que cela correspond à la sommation

vec {V} = lambda_1.vec {M1} + lambda_2.vec {M2} + ... + lambda_n.vec {Mn}

chaque i ème terme de cette sommation est le produit du scalaire (ce produit est commutatif ) lambda_i par le vecteur vec {Mi}

v_11 = lambda_1.m_11 + lambda_2.m_12 + ... + lambda_n.m_1n

v_21 = lambda_1.m_21 + lambda_2.m_22 + ... + lambda_n.m_2n

...

v_n1 = lambda_1.m_n1 + lambda_2.m_n2 + ... + lambda_n.m_nn

donc v_i1 = lambda_1.m_i1 + lambda_2.m_i2 + ... + lambda_n.m_in


lorsqu'on définit une sous base de l'espace vectoriel euclidien |R^n cela reviens à poser p vecteurs de |R^n selon 0 < p < n

vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} tels qu'il existe q = n - p vecteurs de la base canoniques Id

vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {Lq} tels que le système de vecteurs

vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} , vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {Lq} constitue une base de |R^n

le système de vecteurs vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} représente une sous base de |R^n

tout vecteur vec {V} de |R^n tel qu'il existe p scalaires lambda_i tels que

vec {V} = lambda_1.vec {N1} + lambda_2.vec {N2} + ... + lambda_p.vec {Mp} appartiens à cette sous-base


considérant les composantes v_i1 du vecteur vec {V} et considérant les composantes w_i1 = lambda_i du vecteur vec {W}

et considérant les composantes n_ij de la matrice N definie par les p vecteurs vec {Ni} on obtiens [vec {V}] = N.[vec {W}]

attention ici N n'est pas inversible

v_11 = lambda_1.n_11 + lambda_2.n_12 + ... + lambda_p.n_1p

v_21 = lambda_1.n_21 + lambda_2.n_22 + ... + lambda_p.n_2p

...

v_n1 = lambda_1.n_n1 + lambda_2.n_n2 + ... + lambda_p.n_np

donc v_i1 = lambda_1.n_i1 + lambda_2.n_i2 + ... + lambda_p.n_ip

on verifie effectivement selon le produit matriciel [vec {V}] = N.[vec {W}]

v_i1 = n_ik.w_k1 = n_ik.lambda_k avec k de 1 à p convention de sommation d'Einstein donc

v_i1 = n_i1.lambda_1 + n_i2.lambda_2 + ... + n_ip.lambda_p




9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3

soit une base : base {M} formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3} definie par les composantes m_ij

on propose ici un exemple

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1

on propose une convention d'écriture de cette base notons celle-ci base {N} telle que donc base {N} = base {M}

formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {N1} , vec {N2} , vec {N3} definie par les composantes n_ij

celles-ci utilisant les fonctions trigonométriques cosinus et sinus

pour cela on commence à construire une orthogonalisation de cette base {M}

de la même que l'on a procédé au point 3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3

en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , vec {A3}

selon l'exemple on obtiens

la base base {A} definie par la matrice [base {A}] =
1 , -2 , 14/9
2 , 2 , 7/9
2 , -1 , -14/9

définie par les composantes a_ij celle-ci étant orthogonale

rappel : det [base {A}] = det [base {M}]

puis on définit les vecteurs unitaires

vec {B1} = (1/||vec {A1}||).vec {A1}

vec {B2} = (1/||vec {A2}||).vec {A2}

vec {B3} = (1/||vec {A3}||).vec {A3}

on en construit une base notée base {B} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {B1} , vec {B2} , vec {B3}

definie par les composantes b_ij celle-ci étant ortho-unitaire

selon l'exemple on obtiens

la base base {B} definie par la matrice [base {B}] =
1/3 , -2/3 , 2/3
2/3 , 2/3 , 1/3
2/3 , -1/3 , -2/3


puis on pose les décompositions des vecteurs vec {M1} , vec {M2} , vec {M3} sur la base base {B}

pour obtenir les vecteurs vec {L1} , vec {L2} , vec {L3}

on en construit une base notée base {L} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {L1} , vec {L2} , vec {L3}

definie par les composantes l_ij on obtiens une (3X3) matrice triangulaire supérieure en fait il suffit de faire le produit matriciel

[base {L}] = [base {B}]^-1.[base {M}] de sorte que [base {M}] = [base {B}].[base {L}]

selon l'exemple on obtiens

la base base {L} definie par la matrice [base {L}] =
3 , 3 , 4.666666666
0 , 3 , 1.666666666
0 , 0 , 2.333333333

une chose à remarquer :c'est la façon dont est construite la base base {A} qui fait que les composantes diagonales de la matrice [base {L}] sont toujours positives

par conséquent

m_ij = b_i1.l_1j + b_i2.l_2j + b_i3.l_3j

[vec {M1}] = [base {B}].[vec {L1}]

[vec {M2}] = [base {B}].[vec {L2}]

[vec {M3}] = [base {B}].[vec {L3}]

puis on utilise la convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N* que l'on a posé au point

6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*

pour le vecteur vec {L1} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^1 on obtiens :

vec {L1} = ( ||vec {L1}||.cos(theta_11), 0 , 0 ) avec ||vec {L1}|| = 3


pour le vecteur vec {L2} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^2 on obtiens :

vec {L2} = ( ||vec {L2}||.cos(theta_12), ||vec {L2}||.sin(theta_12) , 0 ) avec ||vec {L2}|| = 3.sqrt {2}


pour le vecteur vec {L3} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^3 on obtiens :

vec {L3} = ( ||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23), ||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) , ||vec {L3}||.sin(theta_23) ) avec ||vec {L2}|| = sqrt {30}


vec {L1} = ( 3.cos(0°), 0 , 0 ) = ( 3 , 0 , 0 )

vec {L2} = ( 3.sqrt {2}.cos(45°), 3.sqrt {2}.sin(45°) , 0 ) = ( 3 , 3 , 0 )

vec {L3} =

( sqrt {30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921") , sqrt {30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921") , sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921") ) =

( 4.666666666 , 1.666666666 , 2.333333333 ) = ( 14/3 , 5/3 , 7/3 )

on obtiens

m_11 = cos (0°) = 1
m_21 = 2.cos(0°) = 2
m_31 = 2.cos(0°) = 2

m_12 = sqrt {2}.cos(45°) - 2.sqrt {2}.sin(45°) = -1
m_22 = 2.sqrt {2}.cos(45°) + 2.sqrt {2}.cos(45°) = 4
m_32 = 2.sqrt {2}.cos(45°)-sqrt {2}.sin(45°) = 1

m_13 =1/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-2/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+2/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=2

m_23 =2/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+2/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+1/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=5

m_33 =2/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-1/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-2/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=1



10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*

soit une base : base {M} formée des vecteurs de |R^n dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}

on propose ici un exemple

la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
-8 , -3 , -3 , 1
6 , 3 , 2 , -1
26 , 7 , 10 , -2
0 , 0 , 0 , 2

on propose une convention d'écriture de cette base notons celle-ci base {N} telle que donc base {N} = base {M}

formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Nn} definie par les composantes n_ij

celles-ci utilisant les fonctions trigonométriques cosinus et sinus

pour cela on commence à construire une orthogonalisation de cette base {M}

de la même que l'on a procédé au point 4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3

en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , ... , vec {AN}

selon l'exemple on obtiens

la base base {A} definie par la matrice [base {A}] =
-8 , -0.6907216495 , -0.07929515419 , 0
6 , 1.268041237 , -0.04845814978 , 0
26 , -0.5051546392 , -0.01321585903 , 0
0 , 0 , 0 , 2


définie par les composantes a_ij celle-ci étant orthogonale

puis on définit les vecteurs unitaires

vec {B1} = (1/||vec {A1}||).vec {A1}

vec {B2} = (1/||vec {A2}||).vec {A2}

...

vec {BN} = (1/||vec {AN}||).vec {AN}


on en construit une base notée base {B} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {B1} , vec {B2} , ... , vec {BN}

definie par les composantes b_ij celle-ci étant ortho-unitaire

selon l'exemple on obtiens

la base base {B} definie par la matrice [base {B}] =
-0.287182634 , -0.4515189758 , -0.844781858 , 0
0.2153874476 , 0.8289079705 , -0.5162555799 , 0
0.9333456062 , -0.3302153704 , -0.1407969763 , 0
0 , 0 , 0 , 1

selon le même principe que précédemment on définit

[base {L}] = [base {B}]^-1.[base {M}] de sorte que [base {M}] = [base {B}].[base {L}]

selon l'exemple on obtiens

la base base {L} definie par la matrice [base {L}] =
27.85678159 , 8.04113283 , 10.62578267 , -2.369262352
0 , 1.529775532 , -0.2897778155 , -0.619996879
0 , 0 , 0.09387030119 , -0.04693358531
0 , 0 , 0 , 2

formée des vecteurs dans l'ordre: vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {LN}

par conséquent

m_ij = b_i1.l_1j + b_i2.l_2j + ... + b_in.l_nj


selon l'exemple on obtiens

vec {L1} = ( ||vec {L1}||.cos(theta_11), 0 , 0 , 0 ) avec ||vec {L1}|| = 3

pour le vecteur vec {L2} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^2 on obtiens :

vec {L2} = ( ||vec {L2}||.cos(theta_12), ||vec {L2}||.sin(theta_12) , 0 , 0 )

pour le vecteur vec {L3} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^3 on obtiens :

vec {L3} = ( ||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23), ||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) , ||vec {L3}||.sin(theta_23) , 0 )

pour le vecteur vec {L4} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^4 on obtiens :

vec {L4} = ( ||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) ,

||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) ,

||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) ,

||vec {L4}||.sin(theta_34) )

avec

||vec {L1}|| = 27.85678159

||vec {L2}|| = 8.185354627

||vec {L3}|| = 10.6301477

||vec {L4}|| = 3.162278132

theta_11 = 0°

theta_12 = 10° 46' 17.21129275"

theta_13 = -1° 33' 43.69435153"

theta_23 = 0° 30' 21.45587018"

theta_14 = -165° 20' 7.694716027

theta_24 = -1° 5' 52.3892449"

theta_34 = 39° 13' 53.44861741"


on obtiens

m_11 = -0,287182634.||vec {L1}||.cos(theta_11) = -8
m_21 = 0,2153874476.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 6
m_31 = 0,9333456062.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 26
m_41 = 0.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 0

m_12 = -0,287182634.||vec {L2}||.cos(theta_12) + -0,4515189758.||vec {L2}||.sin(theta_12) = -3
m_22 = 0,2153874476.||vec {L2}||.cos(theta_12) + 0,8289079705.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 3
m_32 = 0,9333456062.||vec {L2}||.cos(theta_12) + -0,3302153704.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 7
m_42 = 0.||vec {L2}||.cos(theta_12) + 0.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 0

m_13 = -0.287182634.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + -0.4515189758.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.844781858.||vec {L3}||.sin(theta_23)= -3
m_23 = 0.2153874476.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + 0.8289079705.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.5162555799.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 2
m_33 = 0.9333456062.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + -0.3302153704.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.1407969763.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 10
m_43 = 0.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + 0.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + 0.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 0

m_14 = -0.287182634.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + -0.4515189758.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...

... -0.844781858.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = 1

m_24 = 0.2153874476.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + 0.8289079705.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...

... -0.5162555799.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = -1

m_34 = 0.9333456062.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + -0.3302153704.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...

... -0.1407969763.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = -2

m_44 = 0.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...

... 0.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 1.||vec {L4}||.sin(theta_34) = 2




11-espace dual


il s'agit ici d'expliquer la notion de dualité de l'espace vectoriel en ce qui concerne les notions de composantes covariantes et contravariantes

___________________________________________________


changement de repere dans l'espace affine euclidien fini |R^n


On se place sur l'espace affine euclidien |R^n , dans cet espace les objets décris ici sont des points ou des repères

dans l'écriture ici les points sont décris par des lettres majucules, les matrices qui représentent ces points selon l'écriture

[P] est la matrice qui represente le point P

les reperes sont decris par l'expression {X,Y} le terme à gauche étant un point et le terme à droite étant une base

par ailleurs on note [AB] la matrice qui represente le vect {AB}

enfin on note {0_n,Id} le repere canonique et ici le point noté 0_n dont les coordonnées sont toutes nulles et Id la base canonique



Soit un point S dont les coordonnées sont données par rapport au repere canonique et soient deux reperes {A,base {M}} et {A',base {M'}}

dont les composantes sont définies par rapport au repere canonique

on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A,base {M}}

et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}

on obtiens [T] = [base {M}]^-1.[vec {AS}] et [T'] = [base {M'}]^-1.[vec {A'S}]

on considère le repere {L',base {N'}} qui donne les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}}

on considère le repere {L,base {N}} qui donne les coordonnées du repere {A,base {M}} par rapport au repere {A',base {M'}}

on dit que [base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]

et que [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]

on verifie [base {N'}] = [base {N}]^-1 et [base {N}] = [base {N'}]^-1

[L'] = [base {M}]^-1.[AA'] et [L] = [base {M'}]^-1.[A'A]

[T'] = [base {N'}]^-1.[L'T] et [T] = [base {N}]^-1.[LT']



considérons la géométrie dans l'espace en posant T=(tx,ty,tz) et T'=(tx',ty',tz')

S = tx.vec {M1} + ty.vec {M2} + tz.vec {M3} + A = tx'.vec {M1'} + ty'.vec {M2'} + tz'.vec {M3'} + A'

avec la base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}

et la base {M'} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1'} , vec {M2'} , vec {M3'}


Soient sont donnés T et le repere {L',base {N'}} c'est à dire respectivement

les coordonnées du point S et les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}} alors

[base {N}] = [base {N'}]^-1 donne la valeur de la base base {M} par rapport à la base base {M'}

[T'] = [N']^-1.[L'T] donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}


_________________________

matrice de changement de base


Soit une (nXp) matrice B et une base base {E} de |R^n alors le produit

A = [base {E}]^-1.B est une (nXp) matrice c'est la matrice de changement de base de la matrice B sur la base base {E} et on vérifie B = [base {E}].A

on verifie l'équivallence logique "A est une base" <= "B est une base"


ici on reprend les objets précédents le point S et les deux bases base {M} et base {M'} en posant A = A' = 0_n on obtiens L = L' = 0_n

alors ce faisant les points peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases


on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M}}

et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M'}}

précédemment on a vu que [T'] = [base {N'}]^-1.[T] et [T] = [base {N}]^-1.[T']

et puisque les points ici peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases par conséquent

vec {T} est un vecteur definit sur la base base {M} et vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}


[base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]

et [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]

on verifie vec {T'} = [base {N'}]^-1.vec {T} = [base {N}].vec {T} et vec {T} = [base {N}]^-1.vec {T'} = [base {N'}].vec {T'}

car [base {N'}]^-1 = [base {N}] et [base {N}]^-1 = [base {N'}]



à présent considerons le produit [vec {T'}] = [base {N}].[vec {T}]


il résulte donc alors que le produit de la matrice [base {N}] de changement de base ici de la matrice [base {M}] sur la base base {M'}

par un vecteur vec {T} definit sur la base base {M} donne pour solution vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}


________________________

produit scalaire euclidien

soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} et une base base {E} definis sur la base canonique Id de |R^n

on note vec {X} et vec {Y} les deux vecteurs respectivement vec {V} et vec {W} mais definis sur la base base {E}

par consequent [vec {X}] = [base {E}]^-1.[vec {V}] et donc [vec {V}] = [base {E}].[vec {X}]

[vec {Y}] = [base {E}]^-1.[vec {W}] et donc [vec {W}] = [base {E}].[vec {Y}]

on considere le produit scalaire euclidien

vec {V}.vec {W} = v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n

vec {X}.vec {Y} =

x_1.y_1.g_11+x_1.y_2.g_12+...+x_1.y_n.g_1n+
x_2.y_1.g_21+x_2.y_2.g_22+...+x_2.y_n.g_2n+
...
x_n.y_1.g_n1+x_n.y_2.g_n2+...+x_n.y_n.g_nn

g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G} de la base base {E} et on verifie [base {G}] = [base {E}]^A = [base {E}]^t.[base {E}]

[base {E}]^t étant la matrice transposée de [base {E}]

lorsque base {E} est orthogonale alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.g_11 + x_2.y_2.g_22 + ... + x_n.y_n.g_nn

lorsque base {E} est orthonormée alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.lambda + x_2.y_2.lambda +...+ x_n.y_n.lambda avec lambda = g_11 = g_22 = ... = g_nn

lorsque base {E} est ortho-unitaire vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1 + x_2.y_2 +...+ x_n.y_n


________________________

préalable sur les composantes covariantes et contravariantes

à tout vecteur vec {X} défini sur une base base {E} on considere vec {X_i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes covariantes

vec {X^i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes contravariantes

telles que selon le produit scalaire euclidien on obtiens vec {X}^2 = x_1.x^1 + x_2.x^2 + ... + x_n.x^n

par convention on dira que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes

(bien évidemment ce n'est pas le seul cas ...mais là on commence l'explication et cette convention est acceptable pour commencer)

on notera ce vecteur vec {V_i} avec l'indice i situé en bas

il résulte d'une telle convention :

Soit un systeme de P vecteurs de |R^n et definis sur la base canonique alors on notera {vec {V_ij}} est ce systeme de P vecteurs

dont les composantes sont covariantes

Soit une base base {E} definie sur la base canonique alors on notera base {E_ij} est cette base dont les composantes sont covariantes


Par ailleurs étant donné que c'est la nature de la base sur laquelle est definie un vecteur qui va influer sur l'expression du produit scalaire par conséquent :

soient deux vecteurs vec {V_i} et vec {W_i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n

ici on exprime donc des composantes covariantes

cependant étant donné que la base canonique est ortho-unitaire on peut aussi écrire

soient deux vecteurs vec {V^i} et vec {W^i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n

ici les composantes des vecteurs sont contravariantes puisque on a les égalitées V_i = V^i et W_i = W^i


on note vec {X^i} et vec {Y^i} les deux vecteurs respectivement vec {V^i} et vec {W^i} mais definis sur la base base {E_ij}

par consequent [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]

[vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] et donc [vec {W^i}] = [base {E_ij}].[vec {Y^i}]

on considere le produit scalaire euclidien

vec {V}.vec {W} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n

vec {X}.vec {Y} =

x^1.y^1.g_11+x^1.y^2.g_12+...+x^1.y^n.g_1n+
x^2.y^1.g_21+x^2.y^2.g_22+...+x^2.y^n.g_2n+
...
x^n.y^1.g_n1+x^n.y^2.g_n2+...+x^n.y^n.g_nn

g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G_ij} de la base base {E_ij} et on verifie [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]

étant donné l'égalitée des composantes covariantes et contravariantes des vecteurs definis sur une base ortho-unitaire

vec {V}.vec {W} = vec {X}.vec {Y} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n = x^1.y_1+x^2.y_2+...+x^n.y_n = x_1.y^1+x_2.y^2+...+x_n.y^n

par conséquent en considérant le produit scalaire vec {X}.vec {X} on verifie

x_1 = x^1.g_11+x^2.g_12+...+x^n.g_1n
x_2 = x^1.g_21+x^2.g_22+...+x^n.g_2n
...
x_n = x^1.g_n1+x^2.g_n2+...+x^n.g_nn

de sorte que x_i=g_ik.x^k par conséquent [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] de sorte que [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]


________________________

base réciproque et base associée réciproque

on a vu que [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]

le vecteur vec {V^i} étant défini par la base canonique Id de sorte que l'on a l'égalitée v_i = v^i

de la même manière il existe une base dite base réciproque de la base base {E_ij} qui sous la forme matricielle est notée [base {E_ij}]^R = [base {E^ij}]

telle que [vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] de sorte que [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

par ailleurs selon l'égalitée v_i = v^i on obtiens donc [vec {V^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

enfin [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}] par consequent [base {E_ij}].[vec {X^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

et donc [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}].[vec {X_i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]

de sorte que

[base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}] = [base {G_ij}]^-1 et donc

[base {E^ij}] = [base {E_ij}].[base {G_ij}]^-1 = [base {E_ij}].([base {E_ij}]^t.[base {E_ij}])^-1 = [base {E_ij}].[base {E_ij}]^-1.([base {E_ij}]^t)^-1

l'ensemble des bases munis du produit étant un groupe le produit est donc associatif, il résulte donc [base {E^ij}] = ([base {E_ij}]^t)^-1


Soit une base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur une base quelconque B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E_ij}

et notée base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur cette base quelconque B et definie par le produit matriciel

[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^t)^-1 = ([base {E_ij}]^-1)^t


Soit une base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur une base quelconque B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E^ij}

et notée base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur cette base quelconque B et definie par le produit matriciel

[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^t)^-1 = ([base {E^ij}]^-1)^t



par ailleurs la base associée notée base {G_ij} de la base {E_ij} et on verifie

[base {G_ij}] = [base {E^ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]

pour un vecteur vec {X} defini sur cette base alors [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] et [vec {x^i}] = [base {G^ij}].[vec {x_i}]

en effet on avait vu [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}] par consequent on doit demontrer que [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^-1

or [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R = ([base {G_ij}]^t)^-1 cela signifie qu'il faut demontrer que [base {G_ij}] = [base {G_ij}]^t

ce qui est le cas car base {G_ij} ayant pour composantes g_ij chacune d'elles donne le produit scalaire euclidien du vecteur i par le vecteur j

le produit scalaire euclidien étant commutatif il resulte que g_ij = g_ji

la base {G^ij} est la base associée réciproque de la base {E_ij}




12-Produit vectoriel défini par produit mixte



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Préalable


* L'ensemble des bases de |R^n munie du produit une groupe, il en résulte des propriétés vues à la page 6


** On démontre que soient deux bases A et B de |R^n alors on vérifie (A.B)^t = B^t.A^t

posons a_ij , b_ij , c_ij , d_ij les composantes respectivement des matrices A , B , C , D avec C = (A.B)^t et D = A.B

d_ij = a_ik.b_kj

C = D^t donc c_ij = d_ji = a_jk.b_ki

par ailleurs posons A^t = P avec les composantes p_ij et posons B^t = Q avec les composantes q_ij

p_ij = a_ji et q_ij = b_ji

posons E = Q.P = B^t.A^t avec les composantes e_ij

e_ij = q_ik.p_kj = b_ki.a_jk = a_jk.b_ki = c_ij


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1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n



* on note [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}

[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^-1)^t = ([base {E_ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E_ij}

[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^-1)^t = ([base {E^ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E^ij}

[base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R est la base associée réciproque de la base base {E_ij}

on verifie [base {G_ij}]^t = [base {G_ij}] et [base {G^ij}]^t = [base {G^ij}] et [base {G^ij}]^-1 = [base {G_ij}]

[base {E_ij}]^t.[base {E^ij}] = [base {E^ij}]^t.[base {E_ij}] = Id la base canonique



** quelque soit une base {E_ij} de |R^n et quelque soit un vecteur vec {V_i} de |R^n on verifie les quatre égalitées

[vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]

[vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] et [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

[vec {X^i}] = [base {G^ij}].[vec {X_i}] et [vec {X_i}] = [base {G_ij}].[vec {X^i}]

avec base {G_ij} est la base associée de la base base {E_ij} et base {G^ij} est la base associée réciproque de la base base {E_ij}



*** Soient deux bases quelconques [base {E_ij}] et [base {F_ij}] et soit un vecteur quelconque vec {V^i} de |R^n alors le produit

[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}

[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}

et pour le vecteur vec {X^i} définit par le produit [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] alors:

[base {B_ij}].[vec {X^i}] = [vec {Y^i}] et [base {A_ij}].[vec {Y^i}] = [vec {X^i}] et [vec {Y^i}] = [base {F_ij}]^-1.[vec {V^i}]

[base {B^ij}].[vec {X_i}] = [vec {Y_i}] et [base {A^ij}].[vec {Y_i}] = [vec {X_i}] et [vec {Y_i}] = [base {F^ij}]^-1.[vec {V_i}]


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2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n


Soient deux reperes {A^i,base {E_ij}} et {B^i,base {F_ij}} et un point S^i

on considère le point X^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}

et on considère le point Y^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}

On obtiens [X^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iS^i] et [Y^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iS^i]

on considère le repere {C^i,base {M_ij}} qui donne les coordonnées du repere {A^i,base {E_ij}} par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}

et on considère le repere {D^i,base {N_ij}} qui donne les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}} par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}

on verifie alors

[C^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iA^i] et [D^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iB^i]

[X^i] = [base {M_ij}]^-1.[C^iY^i] et [Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]

[base {M_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] et [base {N_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}]

on verifie [base {M_ij}]^-1 = [base {N_ij}]

par ailleurs on pose les bases base {A_ij} et base {B_ij} selon

[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}

[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}

alors on verifie [base {B_ij}].[X^i] = [C^iY^i] et [base {A_ij}].[Y^i] = [D^iX^i]

[S^i] = x^j.vec {E_j} + A^i = y^j.vec {F_j} + B^i avec j de 1 à n

où vec {E_j} et vec {F_j} sont les vecteurs qui forment respectivement les bases base {E_ij} et base {F_ij}



Soit est donné le point Y^i et le repere {D^i,base {N_ij}} c'est à dire respectivement les coordonnées du point S^i et les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}}

par rapport au repere {A^i,base {E_ij}} alors:

[base {M_ij}] = [base {N_ij}]^-1 donne les coordonnées de la base base {E_ij} par rapport à la base base {F_ij}

[Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]



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3/4 produit scalaire

voir page 5 pour les propriétés

ici le produit scalaire euclidien sera noté: <vec {V},vec {W}>

|= symbole signifiant "non égal"


on vérifie l'équivallence logique

<vec {V},vec {W}> = a <= [vec {V}]^t.[vec {W}] = a

la norme d'un vecteur ||vec {V}|| = sqrt {<vec {V},vec {V}>}

le vecteur unité: pour tout vecteur non nul vec {V} alors le vecteur unité est donné par: (1/||vec {V}||).vec {V}

le vecteur nul est noté: vec {V} = vec {0_n}


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on considère les quatre équivallences logiques suivantes:


* première équivallence

( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ) <= ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont non nuls )


** deuxième équivallence

ici on pose le concept de "colinéarité" : on dira par convention que lorsque deux vecteurs sont colinéaires cela implique qu'ils sont non nuls

cette convention pour bien marquer la différence avec la notion de vecteurs libres

notion non abordée dans ce topo car jusqu'ici on a pas parlé des combinaisons linéaires :

le systeme formé par deux vecteurs dont au moins l'un est nul ou le systeme de deux vecteurs colinéaires n'est pas un système de vecteurs libres


( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> ^2 - <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> = 0 ) <= ...

... ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont colinéaires )



*** troisième équivallence

ici on pose le concept du "plan" : lorsque deux vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires cela implique qu'ils forme un plan

( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 |= 0 ) <= ( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan )


**** quatrième équivallence

ici on pose le concept "d'orthogonalité"

( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> = 0 ) <= ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont orthogonaux )

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Soient deux vecteurs colinéaires vec {V} et vec {W} alors:

* lorsque <vec {V},vec {W}> - sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions et sens

* lorsque <vec {V},vec {W}> + sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions mais de sens opposés

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on pose le concept "d'angle formé par deux vecteurs non nuls"

Soient deux vecteurs non nuls vec {V} et vec {W} on dit que phi est l'angle formé par ces deux vecteurs selon 0° =< phi =< 180°

*lorsque <vec {V},vec {W}> = 0 on obtiens phi = 90°

*lorsque <vec {V},vec {W}> > 0 on obtiens 0° =< phi < 90°

*lorsque <vec {V},vec {W}> < 0 on obtiens 90° < phi =< 180°

on vérifie <vec {V},vec {W}> = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos ( phi ) avec

phi = arccos ( <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| ) )

cos ( phi ) = <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )

sin ( phi ) = sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 } / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )



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Soient deux vecteurs quelconques vec {V} et vec {W} on considère une loi de composition interne dans |R^n notée : |R^n X |R^n -> |R^n: vec {V} X vec {W} = vec {Z}

vec {V} X vec {W} = <vec {V},vec {V}> . vec {W} - <vec {V},vec {W}> . vec {V}

on vérifie l'équivallence logique

( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan ) <= ( les vecteurs vec {V} et vec {V}Xvec {W} sont orthogonaux )

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Soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan : on note : vec {V} * vec {W} = vec {Z} est un vecteur non nuls défini par

vec {V} * vec {W} = gamma . ( vec {V} X vec {W} ) avec

gamma = sqrt { ( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 ) / U }

U = < <vec {V},vec {V}>.vec {W} , <vec {V},vec {V}>.vec {W} > . <vec {V},vec {V}> + ...

... + < <vec {V},vec {W}> . vec {V} , <vec {V},vec {W}> . vec {V} > . <vec {V},vec {V}> - ...

... - 2.<vec {V},vec {W}> ^2 . <vec {V},vec {V}> ^2

on verifie:

||vec {V} * vec {W}|| = ||vec {W}||.sin ( phi )

phi est l'angle formé par les deux vecteurs vec {V} et vec {W}

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Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]

on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors

<vec {V^i},vec {W^j}> = x^i.y^j.g_ij sommation d'Einstein avec i de 1 à n et j de 1 à n

<vec {V_i},vec {W_j}> = x_i.y_j.g^ij sommation d'Einstein avec i de 1 à n et j de 1 à n


g_ij désigne les composantes covariante de la matrice

[base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}


alors


*lorsque la base [base {E_ij}] est orthogonale dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale

et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = x^i.y^i.g_ii avec i de 1 à n


**lorsque la base [base {E_ij}] est orthonormée dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale

dont les composantes sur la diagonale sont toutes identiques

et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = gamma . (x^i.y^i) avec i de 1 à n et gamma = g_11 = g_22 = ... = g_nn



***lorsque la base [base {E_ij}] est ortho-unitaire dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale

dont les composantes sur la diagonale sont toutes de valeur 1

et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = x^i.y^i avec i de 1 à n

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Calcul avec les composantes covariantes et contravariantes

Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]

on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors

<vec {V^i},vec {W^i}> =x^i.y_i = x_i.y^i



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4/4 produit vectoriel

voir page 5 le symbole d'anti-symétrie

on propose un produit vectoriel noté T est une loi de composition interne dans |R^N avec n > 2

vec {X_i} T vec {Y_i} = vec {Z_i}

on obtiens z_i=e^{ijk}.x_j.y_k avec j,k de 1 à n (sommation d'Einstein) et le symbole d'anti-symétrie e^{ijk}

il en résulte

soient vec {X_i}=(x_1,x_2,x_3) et vec {Y_i}=(y_1,y_2,y_3) deux vecteurs de |R^3 alors le produit vectoriel

vec {X_i} T vec {Y_i}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à |R^3 est un vecteur

z_1=x_2.y_3-x_3.y_2

z_2=x_3.y_1-x_1.y_3

z_3=x_1.y_2-x_2.y_1

soient vec {X_i}=(x_1,x_2,x_3,x_4) et vec {Y_i}=(y_1,y_2,y_3,y_4) deux vecteurs de |R^4 alors le produit vectoriel

vec {X_i} T vec {Y_i}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3,y_4) appartiens à |R^4 est un vecteur

z_1=x_2.y_3+x_2.y_4+x_3.y_4-x_3.y_2-x_4.y_2-x_4.y_3

z_2=x_3.y_1+x_3.y_4+x_4.y_1-x_1.y_3-x_1.y_4-x_4.y_3

z_3=x_1.y_2+x_4.y_1+x_4.y_2-x_1.y_4-x_2.y_1-x_2.y_4

z_4=x_1.y_2+x_1.y_3+x_2.y_3-x_2.y_1-x_3.y_1-x_3.y_2

___________________________________________________________________________________

huit propriétés dans |R^n avec n > 2

1)Anticommutativité

vec {V} T vec {W} = - (vec {W} T vec {V} )

2)Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs

( vec {V} + vec {W} ) T vec {Z} = ( vec {V} T vec {Z} ) + ( vec {W} T vec {Z} )

3)Le produit par un scalaire est associatif par rapport à ce produit

gamma . ( vec {V} T vec {W} ) = ( gamma . vec {V} ) T vec {W}

4)propriété < vec {V}, vec {V} T vec {W} > = 0

5)propriété < vec {W}, vec {V} T vec {W} > = 0

6)propriété < vec {A}, vec {B} T vec {C} > = < vec {A} T vec {B} , vec {C} >

7)propriété vec {V} T vec {V} vecteur nul

8)propriété || vec {A} T vec {B} ||^2 = < ( vec {A} T vec {B} ) T vec {A} , vec {B} >



quatres propriétés supplémentaires dans |R^3 uniquement

1) || vec {V} T vec {W} ||^2 + < vec {V} , vec {W} > ^2 = || vec {V} ||^2 . || vec {W} ||^2

2) vec {X} T ( vec {Y} T vec {Z} ) + vec {Y} T ( vec {Z} T vec {X} ) + vec {Z} T ( vec {X} T vec {Y} ) vecteur nul

3) < vec {A} T vec {B} , vec {C} T vec {D} > = < vec {A} , vec {C} > . < vec {B} , vec {D} > - < vec {B} , vec {C} > . < vec {A} , vec {D} >

4) ||vec {V} T vec {W}|| = ||vec {V}||.||vec {W}||.sin(phi)

avec phi l'angle formé par les deux vecteurs vec {V} et vec {W}

phi = arccos ( <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| ) )

cos ( phi ) = <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )

sin ( phi ) = sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}>^2 } / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )

__________________________________________________________________________________

produit vectoriel de deux vecteurs définis sur une base quelconque


Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]

on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors

vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens

z^i= e^{ijk}.x^l.y^m.b_jl.b_km avec j,k,l,m de 1 à n (sommation d'Einstein) et le symbole d'anti-symétrie e^{ijk}


__________________________________________________________________________________

produit mixte

on propose ici deux exemples dans |R^3 et |R^4 facilements transposables dans |R^n avec n > 4

PREMIER EXEMPLE DANS |R^3

Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]

on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors

vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens

z^1 = det [P11] - det [P12]

z^2 = det [P21] - det [P22]

z^3 = det [P31] - det [P32]


z_1 = det [Q11] - det [Q12]

z_2 = det [Q21] - det [Q22]

z_3 = det [Q31] - det [Q32]

où l'on considère les matrices

[P11] =
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2
b_21 b_22 b_23
b_31 b_32 b_33

[P12] =
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1
b_21 b_22 b_23
b_31 b_32 b_33


[P21] =
b_11 b_12 b_13
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2
b_31 b_32 b_33



[P22] =
b_11 b_12 b_13
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1
b_31 b_32 b_33



[P31] =
b_11 b_12 b_13
b_21 b_22 b_23
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2



[P32] =
b_11 b_12 b_13
b_21 b_22 b_23
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1



[Q11] =
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2
b^21 b^22 b^23
b^31 b^32 b^33


[Q12] =
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1
b^21 b^22 b^23
b^31 b^32 b^33


[Q21] =
b^11 b^12 b^13
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2
b^31 b^32 b^33


[Q22] =
b^11 b^12 b^13
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1
b^31 b^32 b^33


[Q31] =
b^11 b^12 b^13
b^21 b^22 b^23
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2


[Q32] =
b^11 b^12 b^13
b^21 b^22 b^23
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1



DEUXIEME EXEMPLE DANS |R^4

Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]

on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors

vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens



z^1 = det [P11] + det [P12] + det [P13] - det [P14] - det [P15] - det [P16]

z^2 = det [P21] + det [P22] + det [P23] - det [P24] - det [P25] - det [P26]

z^3 = det [P31] + det [P32] + det [P33] - det [P34] - det [P35] - det [P36]

z^4 = det [P41] + det [P42] + det [P43] - det [P44] - det [P45] - det [P46]




z_1 = det [Q11] + det [Q12] + det [Q13] - det [Q14] - det [Q15] - det [Q16]

z_2 = det [Q21] + det [Q22] + det [Q23] - det [Q24] - det [Q25] - det [Q26]

z_3 = det [Q31] + det [Q32] + det [Q33] - det [Q34] - det [Q35] - det [Q36]

z_4 = det [Q41] + det [Q42] + det [Q43] - det [Q44] - det [Q45] - det [Q46]




où l'on considère les matrices


[P11] =
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P12] =
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P13] =
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P14] =
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P15] =
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P16] =
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44



[P21] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44

[P22] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P23] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P24] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P25] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44


[P26] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44



[P31] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_41 b_42 b_43 b_44

[P32] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_41 b_42 b_43 b_44

[P33] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_41 b_42 b_43 b_44

[P34] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_41 b_42 b_43 b_44


[P35] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_41 b_42 b_43 b_44


[P36] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_41 b_42 b_43 b_44



[P41] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2


[P42] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3

[P43] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3


[P44] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1

[P45] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1

[P46] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2





[Q11] =
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q12] =
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q13] =
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q14] =
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q15] =
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q16] =
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44


[Q21] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q22] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q23] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q24] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q25] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44



[Q26] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q31] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^41 b^42 b^43 b^44



[Q32] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^41 b^42 b^43 b^44



[Q33] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^41 b^42 b^43 b^44



[Q34] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^41 b^42 b^43 b^44





[Q35] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^41 b^42 b^43 b^44




[Q36] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^41 b^42 b^43 b^44





[Q41] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2



[Q42] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3



[Q43] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3



[Q44] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1



[Q45] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1



[Q46] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2


_______________________________________________________


Dernière édition par morphisme le Dim 7 Déc - 03:02 (2014); édité 2 fois
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MessagePosté le: Ven 28 Nov - 01:56 (2014)    Sujet du message: Publicité

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MessagePosté le: Dim 30 Nov - 04:26 (2014)    Sujet du message: il n'existe pas d'objets en soi pages 1/8 à 7/8 Répondre en citant

vous allez rire et vous foutre de moi (juré) Mort de Rire

... pour la dernière page, je pense qu'il serait bien de dire ce qui se passe ici et ce qui est dit http://digression.forum-actif.net/t1011-il-n-existe-pas-d-objet-en-soi évidemment vu comme ça je pense qu'il n'est pas nécessaire de faire mon bidule de groupe topologique pour cette démo ratée...
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MessagePosté le: Aujourd’hui à 11:13 (2016)    Sujet du message: il n'existe pas d'objets en soi pages 1/8 à 7/8

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